L'art de mesurar la terra II: La ciència de destrar de Bertrand Boysset

Fa uns dies dedicava un post a parlar de l'agrimensura fiscal a l'Antiguitat i a l'Edat Mitjana, i l'acabava parlant de l'únic tractat medieval d'agrimensura de l'Europa occidental que s'ha conservat, que sapiguem: La siensia de destrar, de Bertrand Boysset. Es tracta d'una obra dels primers anys del segle XV escrita en provençal, la variant més oriental de la llengua que actualment coneguem com a occità. El seu autor, de fet, era d'Arle, situada en l'actual departament francés de Boques del Roine, a la Costa Blava, molt a prop de Nimes i d'Avinyó; i és en aquesta ciutat que es centra l'obra, ja que aporta les seues mesures oficials de longitud i superfície agrària. En realitat consta de dues parts ben diferenciades, La siensia de destrar pròpiament dita, i La siensia d'atermenar, que és un segon tractat sobre la limitació i divisió dels camps mitjançant fites, tot i que es manté una coherència absoluta entre ambdues parts que evidencia la mateixa autoria i consecució. Però abans d'entrar en el contingut d'aquests tractats, molt coneguts sobretot per les imatges que conté, vull parlar del seu autor: Bertrand Boysset.



Emplaçament d'Arle, junt al Roine, i les marjals i estanys que hi ha encara ara fins a la mar

No tenim un ample coneixement de la seua vida, però sabem algunes dades soltes gràcies a la seua aparició en diversos documents, i especialment pel dietari o llibre de memòries familiar i de la ciutat d'Arle que també va escriure entre 1365 i 1414 (podeu veure'l sencer ací fotografiat). El seu naixement es degué produir entre 1350 i 1358, i morí a principis de 1416, per tant va viure entre 58 i 65 anys. Cap a 1373 es va cassar amb Caterina, i van tindre 11 fills (8 xics i 3 xiques) dels quals van morir la immensa majoria amb molt poca edat. Pel que fa a la seua professió, sembla que inicialment Boysset era patró d'un vaixell, i que explotava la pesca de l'estany de Meyranne, una llacuna pareguda a l'Albufera de València situada molt a prop d'Arle, típica de les costes de la Mediterrània occidental. Actualment ja no existeix, ni tampoc la marjal que l'envoltava, perquè es va dessecar completament entre els segles XVIII i XIX, i ara són camps d'arròs i cereal, però resten altres estanys.

Camps d'arròs en la marjal actual de Meyranne, l'antic estany dessecat

Amb tot, també es considerava agrimensor i se'n dedicava professionalment, tot i que no el tenim documentat ocupant-se d'aquestes tasques fins a 1403, data en la que sabem que va mesurar un mas anomenat Nostra Senyora d'Amor (que encara existeix hui amb el mateix nom, molt a prop de l'estany de Vaccarès) per uns problemes d'herències. Aquest treball és important, de fet, perquè ja va ple de consells d'agrimensura, per la qual cosa és un clar antecedent de La siensia de destrar. Sobre com va arribar a combinar ambdues professions no en sabem massa, però sembla que la d'agrimensor va ser molt més tardana. A banda, també posseïa terres, especialment vinyes en la marjal d'Arle, i a més a més participava activament en la vida política de la ciutat com a membre del Consell municipal. Així, degut a la seua experiència agrimensora va arribar a formar part d'una comissió municipal per a modificar les mesures oficials d'Arle. Era, per tant, en definitiva, un membre de la capa més baixa de l'elit urbana de la seua ciutat, assimilable a un mestre artesà amb prestigi i diners, que diversificava els seues ingressos a través de diversos negocis (pesca, fusta, ramaderia...) i la possessió de terres de cultiu.



El mas de Notre Dame d'Amour actualment, junt a l'estany de Vaccarès (el més gran en la figura 1) en un plànols geogràfic sobre fotografia aèria

Passant ja a la seua obra concreta sobre agrimensura, Bertrand Boysset explica a l'inici del primer tractat que en realitat no l'ha escrit ell, sinó que es tracta d'una traducció del llatí al provençal d'una obra anterior realitzada pel mestre Arnau de Vilanova, per encàrrec i en col·laboració amb el rei Robert de Sicília (de la Sicília peninsular, és a dir, Robert I de Nàpols, que va regnar entre 1309 i 1343 i que sempre ha estat considerat un intel·lectual). De fet, hi ha fins a 5 il·lustracions d'Arnau de Vilanova al llarg del llibre, tot sol o junt al rei, en el que apareix escrivint el tractat o fent tasques d'agrimensor. És per això que al llarg del temps, especialment a partir del segle XIX, la seua autoria ha estat molt discutida. Amb tot, actualment sembla prou clar que és una obra pròpia de Bertrand Boysset, tot i que segurament va consultar altres obres anteriors d'influència italiana. Alguns autors opinen que aquesta atribució a Arnau de Vilanova és deguda a la modèstia del seu vertader autor, tot i que en realitat sembla més lògic atribuir-ho a una influència del concepte medieval de l'auctoritas. La seua obra tindria una major difusió i consideració si aquesta era atribuïda a un autor més antic de reconegut prestigi, que no a un simple destrador provençal desconegut en els cercles culturals i científics medievals; és a dir, pura estratègia.

El rei Robert i el mestre Arnau de Vilanova representats escrivint La Siensia de destrar (f. 23r)

Pel que fa a la data de composició, Boysset diu començar a escriure el 15 de desembre de 1401, i en un altre lloc declara acabar de fer-ho el 8 de gener de 1406. És a dir, uns 4 anys de diferència. Però els darrers capítols de La siensia d'atermenar s'haurien escrit a partir d'aquesta darrera data, allargant-se en el temps fins a la mort de Boysset, que es degué produir cap a finals 1415 o principis de 1416. De fet, en el manuscrit original i en altres documents redactats per ell es nota que hi ha hagut una evolució grafològica en l'autor, amb el pas del temps, segurament relacionada amb la pràctica per un major ús de l'escriptura en la seua vida diària.

En realitat no es tracta d'una obra extensa ni complexa. És més bé una espècie de manual d'aprenentatge, en el que es descriu la metodologia de l'agrimensura, s'expliquen problemes amb els quals es pot trobar l'aprenent d'agrimensor i la manera de resoldre'ls, molt d'ells amb trucs. Descriu els perímetres de les parcel·les per a definir les formes geomètriques que les formen, i explica com descompondre les parcel·les irregulars en diverses figures regulars simples (quadrats, rectangles i triangles rectangles) per a calcular la seua superfície. Per descomptat aquesta tècnica és limitada, no s'aconsegueix mai una mesura exacta, ni per l'instrumental a la seua disposició, ni per la capacitat que tenien de calcular figures especialment irregulars, i fins i tot figures regulars més complexes. La superfície d'un cercle, per exemple, no es va poder calcular amb suficient exactitud fins al segle XVII. A més, l'ús de les xifres romanes, com encara fa Bertrand Boysset a principis del segle XV, dificulta el càlcul aritmètic. En qualsevol cas, l'autor sempre recolza les seues explicacions en les imatges que acompanyen el text, fetes de la seua pròpia mà.



Dues pàgines sobre càlcul de superfície de figures geomètriques regulars (f. 61v-62r)

Pel que fa a les eines de mesura, per a les distàncies curtes s'emprava fonamentalment el destre, una vara de fusta de 16 pams de longitud pintada de blanc i negre, mentre que per a distàncies llargues s'empraven cordes, de 10 o 12 destres cadascuna en el cas d'Arle. En el cas de l'atermenament també s'emprava l'esquadra per a orientar les fites de pedra (que de vegades era substituïda pel compàs) i la plomada per a posar-les rectes. De vegades, fins i tot, aporta solucions enginyoses, com ara l'ús d'un penell situat sobre el jaló per a assenyalar un punt llunyà si hi ha una massa boscosa o qualsevol altre element pel mig que impedeix una correcta visualització. D'altra banda, a causa de la senzillesa de les tècniques explicades per Boysset no s'inclou la groma com a eina de mesura, de tradició romana, però sí un instrument semblant i més simple que ell anomena cadrim.

Ús del penell sobre el jaló per a millorar la visibilitat (f. 197r)

En definitiva, es tracta d'una obra senzilla, modesta, però molt interessant per ser una de les poques obres de l'Europa occidental medieval que ens han arribat en la que es descriu quines tècniques emprava aquesta gent per a mesurar la terra, i quin grau de coneixement tenia, així com les seues limitacions. Un aspecte molt important per a l'estudi arqueològic actual dels parcel·laris medievals. Finalment, per a acabar el post, només em resta adjuntar-vos una selecció d'imatges que he cregut interessants.

L'agrimensor o destrador pregant a Déu (f. 11r). Aquesta imatge es repeteix diverses vegades al llarg dels dos tractats

Mestre Arnau de Vilanova amb un destre de fusta a ratlles blanques i negres (f. 29v)

Dibuix en el que es mostra, mitjançant esquadres, com cal orientar les fites dels límits dels camps (f. 127r)

L'ús de la plomada en la construcció de fites (f. 145v-146r)

Un grup de persones observa com un altre clava una fita de camp (f. 157v). Una actitud vers el treball que ve de lluny, doncs.

Longitud del pam menor, mitjà i major vigent al segle XV en la ciutat d'Arle (f. 163r)

Un camp ja atermenat (f. 172v)

Grups de persones entre les cases i marjals d'Arle (238v-239r)

Nota de bibliografia: Per a saber més podeu llegir la tesi doctoral de l'historiador francés Pierre Portet, anomenada Bertrand Boysset, la vie et les oeuvres techniques d’un arpenteur médiéval (1355-1416), publicada en 2004, o la pròpia obra de Boysset publicada per Portet en occità amb aparell crític en francés. Les imatges d'aquest post pertanyen a la pàgina web creada pel mateix autor, en la que podreu veure tot el tractat transcrit, fotografiat, i alguns estudis al seu voltant.

L'art de mesurar la terra... i pagar tributs

Quan érem menuts a tots ens van ensenyar a l'escola els principis bàsics de la geometria, i a calcular la superfície i el volum de les figures més bàsiques. Allà ens explicaven també la importància dels grecs d'època clàssica en el desenvolupament d'aquesta àrea de les matemàtiques, com ara Pitàgores, qui va desenvolupar el teorema per tots conegut. O per exemple el número Pi, representat per una lletra grega, al qual Arquimedes es va poder aproximar d'una manera molt exacta dient que és un número entre 3,1408 i 3,1429. Amb tot, és obvi que els grecs no van ser els primers en intentar calcular superfícies geomètriques. De fet, hi ha qui diu que el Teorema de Pitàgores ja era conegut pels babilonis, tot i que açò està encara molt discutit. El que no es pot negar, però, és que tant a Egipte com a Babilònia tenien ja uns coneixements rudimentaris de geometria. S'han conservat fins a 20 papirs egipcis sobre matemàtiques, dels quals hi ha dos que parlen de geometria i d'un primigeni número Pi sense decimals: el papir de Moscou (datat en 1890 aC), i el papir de Rhind o d'Ahmes (escrit cap a 1650 aC, però copiat d'un altre papir més antic datat cap al 1800 aC).

Fragment del papir de Rhind, en el que podem trobar problemes relacionats amb la superfície d'un triangle

Amb tot, per què aquest interés dels babilònics, els egipcis i els grecs per la geometria? Es tracta únicament del fruit de la curiositat humana pel coneixement? O tenia una finalitat més material? Doncs el ben cert és que la geometria es va desenvolupar en època antiga fonamentalment per a poder mesurar els camps. El mateix nom ho diu: geo (terra) i metria (mesura), la mesura de la terra. Però per què aquesta necessitat de conéixer de la manera més exacta possible la superfície dels camps? Doncs no és gens casualitat que la geometria nasquera a Egipte i Babilònia, els territoris en els quals van aparéixer els primers estats amb el desenvolupament de l'agricultura irrigada. Calia conéixer la quantitat de terra que posseïa cadascú per a pagar els tributs de forma proporcional. I així es com va aparéixer la figura de l'agrimensor, l'expert en la mesura i càlcul de la superfície dels camps, cosa que es feia regularment per a evitar els fraus en el pagament de les taxes estatals.

Escena d'agrimensura en la tomba TT69 de Luxor, que pertanyia a un noble i escrivà anomenat Menna, “supervisor dels camp d'Amon” en temps de Tuthmosis IV i Amenofis III (c. 1400 aC). És a dir, que segurament era l'encarregat de mesurar la terra per a evitar fraus en nom del temple de Karnak

Tot açò ho dic en un blog sobre història medieval perquè sembla existir una tradició que connecta directament aquestes remotes tècniques rudimentàries de geometria i agrimensura amb l'edat mitjana. Es tracta d'un coneixement que va passar dels egipcis als grecs, que el van perfeccionar, i d'aquests a l'Imperi Romà on es va aplicar a bastament. De fet, tots hem sentit parlar de les conegudes Centuriacions romanes dissenyades i construïdes al llarg de tot l'Imperi al voltant de les colònies. Posteriorment, en l'alta edat mitjana, aquestes tècniques d'agrimensura fiscal es van conservar a Bizanci, des d'on van passar als àrabs, que també les van emprar al llarg i ample del Califat Omeia, fins a Alandalús.

Sembla que a l'Imperi Bizantí s'emprava un sistema fiscal segons el qual la quantitat de tribut que calia pagar a l'estat no es calculava únicament a partir de la superfície de les parcel·les, sinó també a partir de la qualitat de la terra, l'accés o no a l'aigua per a regar, la llunyania als nuclis d'habitatge, etc. Així, les terres es dividien en diverses categories fiscals, i les taxes a pagar es calculaven d'acord amb la superfície de la terra, segons la categoria assignada. A més, es mesuraven periòdicament les terres per a incloure les millores introduïdes en els cultius i que el pagament dels tributs fóra d'acord amb la realitat de cada moment. El ben cert és que cap al segle XI un dels emperadors bizantins va modificar aquest sistema per un de nou en el qual tenia més a veure la longitud de les cordes emprades per a mesurar. Però quan els àrabs van conquerir l'Egipte bizantí, al segle VII, durant l'embranzida de l'Islam, el sistema que s'emprava era el vell. Aquests, no solament van conservar el sistema fiscal bizantí a Egipte, sinó que el van adoptar i el van estendre al llarg de tot el nou Califat Omeia. De fet, n'hi ha diverses paraules àrabs del vocabulari bàsic d'agrimensura que provenen directament del grec (la llengua dels bizantins).

Escena d'agricultura a l'Imperi Bizantí

En definitiva, així és com aquest sistema antic d'agrimensura fiscal va arribar a Alandalús al segle VIII. Si recordeu, fa vora dos anys vaig fer un altre post en el qual parlava del concepte d'alfaba (de l'àrab al-habba, el gra d'avena). Es tractava d'un sistema de valor sobre la terra per a pagar tributs, que coneixem sobretot pel Repartimiento de l'horta de Múrcia al segle XIII, tot i que no únicament, i que per tant s'emprava, almenys, al Xarq Alandalús. Així, la quantitat monetària que calia pagar per cada parcel·la es calculava d'acord amb la superfície del camp, però també d'acord amb l'aigua de la que disposava, la qualitat de la terra, etc. A més, la quantitat d'alfabes que contenia una parcel·la s'apuntava en un registre fiscal (al-zimam), que es revisava periòdicament soguejant la terra per a evitar els fraus. N'hi havia, de fet, experts, que les fonts murcianes anomenen “moros sabedores de alfaba”. Comptat i debatut, un sistema molt complicat que els conqueridors cristians no arribaren mai a entendre –per això prompte el van abandonar– i que a nosaltres actualment ens resulta molt difícil de reconstruir per la manca de documentació original conservada. Amb tot, pel que sabem fins ara, sembla que es tracta bàsicament del mateix sistema fiscal.

A l'Europa occidental, per contra, totes aquestes tècniques d'agrimensura fiscal i geometria es van perdre amb les invasions bàrbares. A les terres on es desenvoluparia el feudalisme es van limitar a continuar emprant les mesures romanes, progressivament modificades a nivell local, i a aplicar esporàdicament unes tècniques de càlcul de superfície molt rudimentàries, per aproximació, que recorden molt a les més primigènies dels papirs egipcis. Així, al sud de França i a Catalunya, per exemple, s'empraven mesures amb noms com el destre o la cana, del llatí canna, és a dir canya; mentre que la quanterada de superfície derivava directament del iugerum romà. En qualsevol cas, sabem que també existien mesures d'origen carolingi, i en definitiva una gran diversitat de noms i longituds, ja que a cada localitat les diverses mesures (de longitud i superfície, però també de volum i de pes) acabaren per tindre un valor diferent. De fet, és normal que, amb la manca d'un poder central que controle aquestes coses, a cada senyoriu acabe per aparéixer una mesura diferent amb la vida diària, les modificacions puntuals com a mètode de pujar la renda per part dels senyor, o la manca de models fiables amb els que comparar i fer eines noves de mesura. Així, cap al segle XI el desgavell era tal a Catalunya que, sembla, es van modificar bona part de les mesures, ja que les del segle XII són diferents a les que existien en el segle X, com ha pogut veure Gaspar Feliu.

Longitud de la vara aragonesa (0,772 m), esculpida a la Catedral de Jaca

A nivell estatal, a Bizanci i Alandalús, o a nivell local i senyorial, a l'Europa feudal, tant se val, conéixer la superfície dels camps continua sent fonamental per a pagar la renda, tot i que al territori del Feudalisme els camps no es mesuren de forma periòdica per la manca d'experts. O millor dit, no hi ha experts agrimensors perquè no són necessaris ni requerits. La renda feudal es basa majoritàriament en la producció, ja que es tracta d'un percentatge de la collita i es paga en espècie. Fins que apareix la monetarització de forma molt més tardana, i aleshores la superfície dels camps torna a cobrar rellevància, ja que és en base a aquesta que es paga una quantitat de monedes o una altra. Però els senyors es fien, o no tenen més remei, de la superfície de les parcel·les que marquen els documents antics i de les superfícies que els camperols declaren posseir de forma jurada sobre els Evangelis. En això estan basats els capbreus, o registres senyorials de terres, que es conserven als nostres arxius, pràcticament fins al segle XVIII.

Els agrimensors, doncs, foren una espècie rara en l'Europa occidental fins a ben entrada la baixa edat mitjana, quan tornaren a ser a poc a poc requerits. En part com a agrimensors per a conéixer la superfície dels camps en conflictes de terres per herències o vendes. Però sobretot com a constructors, o dissenyadors, de nous parcel·laris. Fonamentalment a nord d'Itàlia i al migdia francés, durant l'expansió i remodelació dels espais agraris i del poblament que comença a finals del segle XI i s'allarga fins al XV, relacionada amb la fundació de bastides ortogonals. I també a la península Ibèrica a partir del segles XII i XIII amb l'expansió sobre Alandalús, la fundació de viles noves i l'establiment de nous colons per als quals calien nous camps de cultiu.

Uns monjos mesurant amb una corda a la Cantiga 45 d'Alfons X de Castella

No és fàcil saber com treballava aquesta gent. Amb quines eines i quines tècniques. Quins coneixements tenien de geometria, d'aritmètica, de tots aquells sabers d'origen egipci i grec que s'havien perdut a Occident i que ara es recuperaven a través dels àrabs, com tants altres coneixements de medicina i filosofia d'època antiga. A nivell d'alta cultura aquesta arribada de coneixements grecs i romans a través de les traduccions de l'àrab va suposar una revolució, com ja vam veure fa dos anys quan vaig parlar de Fibonacci, l'aritmètica medieval i la introducció dels números aràbics. Així, per exemple, tenim l'obra De Architectura, de Vitruvi, i també el Corpus Agrimensorum Romanorum, que és un compendi de textos didàctics sobre agrimensura escrit cap al segle IV dC. Però a nivell pràctic, quan calia mesurar camps de veritat, aquests sabers no van ser aplicats fins ben entrada l'edat moderna. L'únic manual d'agrimensura medieval de l'Europa occidental que s'ha conservat, que sapiguem, és La siensia de destrar, de Bertrand Boysset, escrit en els primers anys del segle XV recollint tradicions més antigues sobretot italianes. Les tècniques aplicades, però, són molt senzilles, i no arriben mai a un resultat exacte, sinó aproximat. Això, de fet, ho podem comprovar fàcilment a la documentació medieval, quan veiem que la superfície de les parcel·les que s'indica sempre tenen un número exacte, i mai decimals. De Bertrand Boysset, amb tot, parlaré en un proper post.

Full 60v de La siensia de destrar de Boysset, en el que explica com mesurar la superfície d'una parcel·la irregular dividint-la en diverses figures regulars

Al-Khwarizmí, Fibonacci i Pacioli: les matemàtiques a l'edat mitjana

A tots ens ensenyaren a l'escola els grans avanços matemàtics de la Grècia clàssica: el teorema de Pitàgores i els triangles, el número Pi en la circumferència, o els poliedres platònics que s'associaren amb els elements i la naturalesa. Però tot això, com es pot apreciar, pertany a la geometria. Per contra, els grecs, com abans els babilònics i els egipcis, no tenien tan desenvolupada l'aritmètica perquè, tot i que la coneixien perfectament, era altament complicat realitzar operacions amb els seus sistemes numèrics. Aquells, per entendre'ns, eren, com el romà, sistemes en els quals cada xifra principal (1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000) estava representada per una lletra (I, V, X, C, L, D, M) i la resta dels números es formaven afegint o llevant altres lletres. És a dir, que si 10 és una X, 11 és XI, i 347 CCCXLVII. ¿Algú ha provat alguna vegada a fer una multiplicació o una divisió amb números romans? Proveu-ho si teniu ganes, i a veure què us ix, per exemple, multiplicant CCCXLVIII per DXXIX.

Al llarg de tot el planeta es van facilitar els càlculs simples mitjançant diversos tipus d'àbac, que era el sistema que s'emprava, pel que ací ens interessa, a l'Europa medieval, d'herència romana. El canvi, però, va arribar amb la introducció del nostre sistema actual de valor-posició, en el que hi ha només deu xifres (de l'u al nou més el zero) i cadascuna d'elles té un valor diferent segons la posició en la que ocupa. És a dir, que un “9” val nou si va sol o al final de la xifra, però val noranta si en porta darrere una altra, con en “95”. Això és el que hui en dia anomenem números aràbics, perquè van ser els àrabs els que el van introduir a Europa, però que en realitat és un invent hindú, de principis de l'edat mitjana. De fet, la primera referència al sistema valor-posició la trobem en el matemàtic hindú més destacat del VI, Aryabhata, que en una de les seues obres diu: «de lloc en lloc cadascun és 10 vegades l'anterior», i la primera representació coneguda d'una xifra hindú es la que està pintada en un plat de l'any 595, que demostra que era un sistema conegut des de feia temps.

Van ser els àrabs els primers en adoptar-lo, i els encarregats posteriorment d'estendre'l per Europa. Clar que, tot i que els àrabs són sobretot coneguts en aquest respecte com a salvadors de les matemàtiques gregues a través de les traduccions, cal dir que entre ells també van haver-hi grans matemàtics. D'aquests cal destacar, en primer lloc, a Muhàmmad ibn Musa al-Khwarizmí (a la imatge), que al voltant del 825 va escriure a Bagdad la seua obra més important, el Kitab al-jabr wa al-muqabalah (La ciència de la restauració i la reducció). De fet, la paraula “àlgebra” deriva d'aquest títol (al-jabr), i la paraula “logaritme” és una deformació del seu nom al-Khwarizmí. Un altre matemàtic àrab important va ser Abu Kamil Shuja, que va nàixer a Egipte cap a l'any 850 i morí aproximadament en el 930. Entre d'altres va escriure el Llibre sobre l'àlgebra, El llibre de les coses estranyes sobre l'art de calcular, i el Llibre sobre la mesura i la geometria, i destaca pel fet de ser el primer matemàtic que va proposar més d'una possibilitat per a la resolució de problemes, fins al punt d'interessar-se per la totalitat de les solucions possibles. De fet, fins a aquell moment l'aritmètica havia consistit bàsicament en l'exposició de problemes models i una proposta de resolució.

Full del Kitab al-jabr d'al-Khwarizmí

Ara bé, les aportacions dels àrabs cal destacar-les perquè són les que van servir de base al desenvolupament de les obres del més gran matemàtic que va conéixer l'Europa medieval: Leonardo de Pisa, més conegut com Fibonacci. Nascut a Pisa, com indica el seu nom, cap al 1170 o poc més, era fill d'un comerciant que va estar instal·lat un temps a Bejaïa, a l'actual Algèria, i que també va viatjar per Egipte i Síria amb el seu fill, on va aprendre els fonaments de les matemàtiques àrabs i la numeració hindú. Explicar aquest sistema va ser el propòsit de la seua obra, el Liber Abaci, on demostrava els avantatges del sistema valor-posició respecte al sistema romà i l'ús de l'àbac que empraven els comerciants europeus del moment. De fet, va ser a partir d'aquell moment que es van començar a emprar, molt a poc a poc, els números actuals entre les elits intel·lectuals occidentals, tot i que no es generalitzarien al comerç fins a finals del segle XV. Tant és així que qualsevol que haja vist registres de llibres de comptes a un arxiu medieval sap que els números aràbics només comencen a emprar-se, tímidament, al segle XV.

També explicà la ben coneguda i útil “regla de tres”, simple i composta, i normes per a fer arrels quadrades. Ara bé, si per alguna cosa és conegut Leonardo Pisà en la història de les matemàtiques és per ser el descobridor de l'anomenada “successió de Fibonacci”, batejada així al segle XIX per Édouard Lucas. Es tracta d'una successió numèrica infinita en la qual cada número és el resultat de la suma dels dos anteriors; és a dir:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ...

Ara bé, Leonardo no la va explicar així tal qual, sinó que ho va fer mitjançant el conegut “problema dels conills”: En un corral tanquen una parella de conills, que es reprodueixen una vegada al mes creant una nova parella de conills, que alhora podrà reproduir-se després d'un altre mes de creixement. Aleshores, quantes parelles hi haurà a cada mes que passe? Doncs el primer mes una parella, al següent mes els dos conills es reproduiran i hi haurà dues parelles, al tercer més la parella original es reproduirà de nou i ja n'hi haurà tres parelles mentre la segona parella va creixent, al quart mes la parella original es reproduirà de nou, la primera en nàixer ja haurà crescut i es reproduirà també, i la segona parella nascuda encara és massa jove, per la qual cosa en seran 5, al cinqué més en seran 8, i al sisé en seran 13, etc., etc. És a dir, la successió de Fibonacci.

La successió de Fibonacci va ser la primera seqüència recursiva coneguda a Europa, i té múltiples propietats matemàtiques. Per exemple, la multiplicació de dos números imparells consecutius de Fibonacci sempre dóna com a resultat el quadrat del número que queda al mig més 1. Per exemple, 5 · 13 = 8² + 1 = 65. Per contra, si agafem dos números parells, el resultat és el quadrat de la xifra del mig menys 1, i així per tant 3 · 8 = 5² – 1 = 24, i així sempre. A més també té altres propietats semblants, però la que més crida l'atenció és que cada número Fibonacci dividit pel seu anterior tendeix a donar com a resultat el número Phi = 1'61803399..., sobretot quan més altes són les xifres dins de la successió.

La lletra grega Phi, majúscula i minúscula, que s'empra per a representar el número 1'61803399... Aquesta lletra va ser elegida per ser la inicial de Fídies, l'escultor del Partenó, ja que diversos autors han proposat que va ser ell el primer en emprar-lo en el disseny d'un edifici, tot i que està demostrat que no va ser així.

Però què és Phi? Es tracta d'un número irracional infinit paregut al número Pi, que és molt més conegut. En realitat aquest número ja el coneixien els grecs, ja que el va descobrir Euclides, i és l'anomenada Proporció Àuria o Número d'Or. Una proporció que es va descobrir gràcies a l'estudi del pentàgon, però que posteriorment s'ha trobat a la naturalesa. Així, apareix en els pètals de les flors, les espirals dels gira-sols i les margarides, les escames de les pinyes, les conquilles dels caragols, en les galàxies, i fins i tot en les proporcions del cos humà. No m'estendré ara en tot açò perquè s'escapa als avanços fets en l'edat mitjana, però és un tema molt interessant que podeu veure en múltiples webs i vídeos de la xarxa, com per exemple aquest:

En realitat la proporció àuria també és coneguda com a proporció divina, gràcies al frare i matemàtic medieval Luca Pacioli, que ho va proposar a finals del segle XV per les singulars característiques del número, ja que afirmava que era producte de Déu. Nascut el 1445 a Borgo San Sepolcro, prompte va destacar com a matemàtic, però cap a 1470 estudià teologia i s'ordenà frare franciscà seguint la idea que la ciència era la manera d'arribar a Déu. La seua obra més important, Summa, és un compendi de tot el coneixement matemàtic del moment en tots els seus vessants, i una part important la dedica a recollir la comptabilitat de doble entrada assajada pels mercaders italians fins a aquell moment, cosa que li ha valgut el títol de pare de la comptabilitat, tot i no haver-la inventat ell.

Pintura de Jacopo de'Barbari en la qual es veu Luca Pacioli donant classe a un alumne sobre els elements d'Euclides. Es desconeix la identitat del personatge de darrere, la qual ha estat àmpliament debatuda, però podria ser el conegut pintor alemany renaixentista Durero.

En 1482 Leonardo Da Vinci havia estat convidat a la cort de Ludovico Sforza, duc de Milà, qui el va convèncer perquè convidara Pacioli també. Ambdós van col·laborar estretament, ja que Da Vinci va representar per primera vegada l'estructura dels sòlids regulars per a l'obra de Pacioli sobre l'anomenada “Proporció Divina”, i és que va ser Pacioli qui inventà aquest nom. De fet, Da Vinci va emprar profusament la proporció àuria a les seues obres pictòriques, i el conegut home de Vitruvi està basat en els explicacions del segon llibre de Pacioli. En realitat, aquest autor no destaca en la història de les matemàtiques per la seua originalitat, ja que majoritàriament es va dedicar a compel·lir sabers ja coneguts (fins i tot se l'ha acusat de plagi), però el seu paper va ser important per al desenvolupament de les matemàtiques.

L'home de Vitruvi de Leonardo Da Vinci