Al-Khwarizmí, Fibonacci i Pacioli: les matemàtiques a l'edat mitjana

A tots ens ensenyaren a l'escola els grans avanços matemàtics de la Grècia clàssica: el teorema de Pitàgores i els triangles, el número Pi en la circumferència, o els poliedres platònics que s'associaren amb els elements i la naturalesa. Però tot això, com es pot apreciar, pertany a la geometria. Per contra, els grecs, com abans els babilònics i els egipcis, no tenien tan desenvolupada l'aritmètica perquè, tot i que la coneixien perfectament, era altament complicat realitzar operacions amb els seus sistemes numèrics. Aquells, per entendre'ns, eren, com el romà, sistemes en els quals cada xifra principal (1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000) estava representada per una lletra (I, V, X, C, L, D, M) i la resta dels números es formaven afegint o llevant altres lletres. És a dir, que si 10 és una X, 11 és XI, i 347 CCCXLVII. ¿Algú ha provat alguna vegada a fer una multiplicació o una divisió amb números romans? Proveu-ho si teniu ganes, i a veure què us ix, per exemple, multiplicant CCCXLVIII per DXXIX.

Al llarg de tot el planeta es van facilitar els càlculs simples mitjançant diversos tipus d'àbac, que era el sistema que s'emprava, pel que ací ens interessa, a l'Europa medieval, d'herència romana. El canvi, però, va arribar amb la introducció del nostre sistema actual de valor-posició, en el que hi ha només deu xifres (de l'u al nou més el zero) i cadascuna d'elles té un valor diferent segons la posició en la que ocupa. És a dir, que un “9” val nou si va sol o al final de la xifra, però val noranta si en porta darrere una altra, con en “95”. Això és el que hui en dia anomenem números aràbics, perquè van ser els àrabs els que el van introduir a Europa, però que en realitat és un invent hindú, de principis de l'edat mitjana. De fet, la primera referència al sistema valor-posició la trobem en el matemàtic hindú més destacat del VI, Aryabhata, que en una de les seues obres diu: «de lloc en lloc cadascun és 10 vegades l'anterior», i la primera representació coneguda d'una xifra hindú es la que està pintada en un plat de l'any 595, que demostra que era un sistema conegut des de feia temps.

Van ser els àrabs els primers en adoptar-lo, i els encarregats posteriorment d'estendre'l per Europa. Clar que, tot i que els àrabs són sobretot coneguts en aquest respecte com a salvadors de les matemàtiques gregues a través de les traduccions, cal dir que entre ells també van haver-hi grans matemàtics. D'aquests cal destacar, en primer lloc, a Muhàmmad ibn Musa al-Khwarizmí (a la imatge), que al voltant del 825 va escriure a Bagdad la seua obra més important, el Kitab al-jabr wa al-muqabalah (La ciència de la restauració i la reducció). De fet, la paraula “àlgebra” deriva d'aquest títol (al-jabr), i la paraula “logaritme” és una deformació del seu nom al-Khwarizmí. Un altre matemàtic àrab important va ser Abu Kamil Shuja, que va nàixer a Egipte cap a l'any 850 i morí aproximadament en el 930. Entre d'altres va escriure el Llibre sobre l'àlgebra, El llibre de les coses estranyes sobre l'art de calcular, i el Llibre sobre la mesura i la geometria, i destaca pel fet de ser el primer matemàtic que va proposar més d'una possibilitat per a la resolució de problemes, fins al punt d'interessar-se per la totalitat de les solucions possibles. De fet, fins a aquell moment l'aritmètica havia consistit bàsicament en l'exposició de problemes models i una proposta de resolució.

Full del Kitab al-jabr d'al-Khwarizmí

Ara bé, les aportacions dels àrabs cal destacar-les perquè són les que van servir de base al desenvolupament de les obres del més gran matemàtic que va conéixer l'Europa medieval: Leonardo de Pisa, més conegut com Fibonacci. Nascut a Pisa, com indica el seu nom, cap al 1170 o poc més, era fill d'un comerciant que va estar instal·lat un temps a Bejaïa, a l'actual Algèria, i que també va viatjar per Egipte i Síria amb el seu fill, on va aprendre els fonaments de les matemàtiques àrabs i la numeració hindú. Explicar aquest sistema va ser el propòsit de la seua obra, el Liber Abaci, on demostrava els avantatges del sistema valor-posició respecte al sistema romà i l'ús de l'àbac que empraven els comerciants europeus del moment. De fet, va ser a partir d'aquell moment que es van començar a emprar, molt a poc a poc, els números actuals entre les elits intel·lectuals occidentals, tot i que no es generalitzarien al comerç fins a finals del segle XV. Tant és així que qualsevol que haja vist registres de llibres de comptes a un arxiu medieval sap que els números aràbics només comencen a emprar-se, tímidament, al segle XV.

També explicà la ben coneguda i útil “regla de tres”, simple i composta, i normes per a fer arrels quadrades. Ara bé, si per alguna cosa és conegut Leonardo Pisà en la història de les matemàtiques és per ser el descobridor de l'anomenada “successió de Fibonacci”, batejada així al segle XIX per Édouard Lucas. Es tracta d'una successió numèrica infinita en la qual cada número és el resultat de la suma dels dos anteriors; és a dir:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ...

Ara bé, Leonardo no la va explicar així tal qual, sinó que ho va fer mitjançant el conegut “problema dels conills”: En un corral tanquen una parella de conills, que es reprodueixen una vegada al mes creant una nova parella de conills, que alhora podrà reproduir-se després d'un altre mes de creixement. Aleshores, quantes parelles hi haurà a cada mes que passe? Doncs el primer mes una parella, al següent mes els dos conills es reproduiran i hi haurà dues parelles, al tercer més la parella original es reproduirà de nou i ja n'hi haurà tres parelles mentre la segona parella va creixent, al quart mes la parella original es reproduirà de nou, la primera en nàixer ja haurà crescut i es reproduirà també, i la segona parella nascuda encara és massa jove, per la qual cosa en seran 5, al cinqué més en seran 8, i al sisé en seran 13, etc., etc. És a dir, la successió de Fibonacci.

La successió de Fibonacci va ser la primera seqüència recursiva coneguda a Europa, i té múltiples propietats matemàtiques. Per exemple, la multiplicació de dos números imparells consecutius de Fibonacci sempre dóna com a resultat el quadrat del número que queda al mig més 1. Per exemple, 5 · 13 = 8² + 1 = 65. Per contra, si agafem dos números parells, el resultat és el quadrat de la xifra del mig menys 1, i així per tant 3 · 8 = 5² – 1 = 24, i així sempre. A més també té altres propietats semblants, però la que més crida l'atenció és que cada número Fibonacci dividit pel seu anterior tendeix a donar com a resultat el número Phi = 1'61803399..., sobretot quan més altes són les xifres dins de la successió.

La lletra grega Phi, majúscula i minúscula, que s'empra per a representar el número 1'61803399... Aquesta lletra va ser elegida per ser la inicial de Fídies, l'escultor del Partenó, ja que diversos autors han proposat que va ser ell el primer en emprar-lo en el disseny d'un edifici, tot i que està demostrat que no va ser així.

Però què és Phi? Es tracta d'un número irracional infinit paregut al número Pi, que és molt més conegut. En realitat aquest número ja el coneixien els grecs, ja que el va descobrir Euclides, i és l'anomenada Proporció Àuria o Número d'Or. Una proporció que es va descobrir gràcies a l'estudi del pentàgon, però que posteriorment s'ha trobat a la naturalesa. Així, apareix en els pètals de les flors, les espirals dels gira-sols i les margarides, les escames de les pinyes, les conquilles dels caragols, en les galàxies, i fins i tot en les proporcions del cos humà. No m'estendré ara en tot açò perquè s'escapa als avanços fets en l'edat mitjana, però és un tema molt interessant que podeu veure en múltiples webs i vídeos de la xarxa, com per exemple aquest:

En realitat la proporció àuria també és coneguda com a proporció divina, gràcies al frare i matemàtic medieval Luca Pacioli, que ho va proposar a finals del segle XV per les singulars característiques del número, ja que afirmava que era producte de Déu. Nascut el 1445 a Borgo San Sepolcro, prompte va destacar com a matemàtic, però cap a 1470 estudià teologia i s'ordenà frare franciscà seguint la idea que la ciència era la manera d'arribar a Déu. La seua obra més important, Summa, és un compendi de tot el coneixement matemàtic del moment en tots els seus vessants, i una part important la dedica a recollir la comptabilitat de doble entrada assajada pels mercaders italians fins a aquell moment, cosa que li ha valgut el títol de pare de la comptabilitat, tot i no haver-la inventat ell.

Pintura de Jacopo de'Barbari en la qual es veu Luca Pacioli donant classe a un alumne sobre els elements d'Euclides. Es desconeix la identitat del personatge de darrere, la qual ha estat àmpliament debatuda, però podria ser el conegut pintor alemany renaixentista Durero.

En 1482 Leonardo Da Vinci havia estat convidat a la cort de Ludovico Sforza, duc de Milà, qui el va convèncer perquè convidara Pacioli també. Ambdós van col·laborar estretament, ja que Da Vinci va representar per primera vegada l'estructura dels sòlids regulars per a l'obra de Pacioli sobre l'anomenada “Proporció Divina”, i és que va ser Pacioli qui inventà aquest nom. De fet, Da Vinci va emprar profusament la proporció àuria a les seues obres pictòriques, i el conegut home de Vitruvi està basat en els explicacions del segon llibre de Pacioli. En realitat, aquest autor no destaca en la història de les matemàtiques per la seua originalitat, ja que majoritàriament es va dedicar a compel·lir sabers ja coneguts (fins i tot se l'ha acusat de plagi), però el seu paper va ser important per al desenvolupament de les matemàtiques.

L'home de Vitruvi de Leonardo Da Vinci